\section{被动控制}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection}
\begin{block}{被动控制原理}
    利用航天器固有动力学特性，在精度要求不高时实现期望姿态的稳定平衡
\end{block}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{稳定性分析}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
系统稳定性描述其渐近特性（当\( t \to \infty \)时）：\\
\textcolor{blue}{稳定}：运动是否保持有界？\\
\textcolor{blue}{不稳定}：运动是否无限发散？\\
\textcolor{blue}{渐近稳定}：运动是否趋于平衡点？\\
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
考虑常系数线性微分方程：
\[\frac{d^n x}{dt^n} + b_1 \frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}} + \cdots + b_{n-1} \frac{dx}{dt} + b_n x = a_1 \frac{d^{n-1}u}{dt^{n-1}} + \cdots + a_{n-1} \frac{du}{dt} + a_n u\]  
平衡解：\(x(t) \equiv 0\)\\
拉普拉斯变换得：
\[X(s) = \frac{a_1 s^{n-1} + \cdots + a_n}{s^n + b_1 s^{n-1} + \cdots + b_n} U(s)\]  
特征方程：
\[s^n + b_1 s^{n-1} + \cdots + b_n = 0\]  
设$p_i(i=1,2,\cdots,n)$为特征根
\begin{columns}
\column{0.3\textwidth}
\textcolor{blue}{不稳定}：
\[\mathrm{Re}(p_i) > 0,\exists i\]
\column{0.3\textwidth}
\textcolor{blue}{渐近稳定}：
\[\mathrm{Re}(p_i) < 0,\forall i\]
\column{0.3\textwidth}
\textcolor{blue}{临界稳定}：\\
若存在虚轴上单重根且无正实部根
\end{columns}
\end{frame}

\subsection{自旋稳定}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
自旋稳定是最古老的被动稳定方式之一。
\begin{itemize}
    \item 若任务需求是使航天器单轴指向惯性空间固定方向，可通过绕该轴自旋实现稳定
\end{itemize}
\begin{center}\includegraphics{fig_10_1.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.1：} 自旋稳定航天器构型\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
无外力矩运动的自旋稳定性：
\begin{itemize}
    \item 主轴系欧拉方程：
    \[\begin{aligned}
    I_x \dot{\omega}_x + (I_z - I_y) \omega_y \omega_z &= 0 \\
    I_y \dot{\omega}_y + (I_x - I_z) \omega_z \omega_x &= 0 \\
    I_z \dot{\omega}_z + (I_y - I_x) \omega_x \omega_y &= 0
    \end{aligned}\]
    其中\( I_x, I_y, I_z \)为主转动惯量
    \item z轴自旋平衡条件：
    \[ \omega_x(t) = \omega_y(t) = 0, \quad \omega_z(t) = v(\text{常量}) \]
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
稳定性判据：
\begin{itemize}
    \item \textcolor{blue}{最大轴稳定}：
    \[ I_z > \max(I_x, I_y) \]
    \item \textcolor{blue}{最小轴稳定}：
    \[ I_z < \min(I_x, I_y) \]
    \item 中间轴（\( I_x < I_z < I_y \)或\( I_y < I_z < I_x \)）总是不稳定
\end{itemize}
\begin{block}{自旋稳定条件}
航天器必须绕最大或最小惯量轴自旋
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\begin{columns}
\column{0.45\textwidth}
理论分析基于刚体假设和无外力矩条件
\column{0.45\textwidth}
实际航天器存在柔性结构且受干扰力矩影响
\end{columns}
\begin{columns}
\column{0.45\textwidth}
\column{0.45\textwidth}
\[\Downarrow\]
\textcolor{blue}{内部能量耗散效应}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\begin{columns}
\column{0.6\textwidth}
\begin{block}{探险者1号案例}
\begin{itemize}
    \item 美国首颗人造卫星
    \item 轴对称设计，绕最小惯量轴自旋
    \item 柔性天线导致能量耗散
    \item 入轨数小时后出现翻滚
    \item 由此发现最大轴法则
\end{itemize}
\end{block}
\column{0.3\textwidth}
\begin{center}\includegraphics[scale=0.5]{fig_10_2.jpg}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.2：} 探险者1号卫星\end{center}
\end{columns}
\begin{block}{最大轴法则}
绕最大惯量轴自旋渐近稳定，绕其他轴均不稳定
\end{block}
\end{frame}

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\subsection{双自旋稳定}
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\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
传统自旋稳定存在局限性：
\begin{itemize}
    \item 最大轴法则要求绕最大惯量轴自旋，可能与构型设计冲突
    \item 整星自旋导致有效载荷指向控制困难
\begin{itemize}
    \item 例如通信卫星天线需持续对地指向（非惯性定向）
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{center}\includegraphics[scale=0.6]{fig_6_1.jpg}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.3：} 通信卫星构型示意图\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
理想方案应兼具自旋稳定优势（陀螺稳定性），同时避免整星自旋或绕最大惯量轴旋转的约束。
\begin{block}{双自旋稳定原理}
通过在航天器内部安装飞轮，使其旋转轴与需保持惯性定向的基准轴对齐，利用飞轮旋转提供陀螺稳定性。
\end{block}
\begin{center}\includegraphics{fig_10_4.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.4：} 双自旋航天器构型\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
能量耗散效应分析
\begin{itemize}
    \item 理论证明双自旋结构可稳定最大、最小及中间惯量轴自旋
    \item 适度能量耗散有利，因其导致角速度收敛：
    \[
    \vec{\omega} \to 
    \begin{bmatrix}
    0 \\ 0 \\ \omega_z
    \end{bmatrix}
    \]
    表明\textcolor{blue}{选择最大惯量轴作为旋转轴更安全}
\end{itemize}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{重力梯度稳定}
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\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
对地定向卫星应用需求广泛
\begin{center}\includegraphics{fig_10_5.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.5：} 轨道坐标系定义\end{center}
定义轨道坐标系\( \vec{F}_o \)，其基矢量\( \vec{x}_o, \, \vec{y}_o, \, \vec{z}_o \)满足：  
\[\vec{x}_o = \vec{y}_o \times \vec{z}_o, \, \vec{y}_o = -\frac{\vec{r} \times \vec{v}}{|\vec{r} \times \vec{v}|}, \, \vec{z}_o = -\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\]
其中\( \vec{r} \)和\( \vec{v} \)分别为航天器相对地心的惯性位置与速度矢量。
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\textcolor{blue}{
当航天器本体坐标系\( \mathcal{F}_b \)与轨道坐标系\( \mathcal{F}_o \)对齐时，本体z轴将精确指向天底方向，满足对地定向卫星需求。}
\begin{center}\includegraphics{fig_10_5.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.6：} 轨道坐标系定义示意图\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
重力梯度力矩作用下的运动特性分析  
\vspace{-2pt}
\[T_g = \frac{3\mu}{r^5} r_b^\times Ir_b\]
\vspace{-16pt}
\begin{block}{稳定性判据}
当满足以下条件时，航天器相对于轨道坐标系\( F_o \)的小角度姿态运动稳定：
\begin{itemize}
    \item \( F_b \)为主轴坐标系
    \item 主惯量满足\( I_y > I_x > I_z \)    
\end{itemize}
\end{block}
\begin{center}\includegraphics[scale=0.8]{fig_10_5.pdf}\end{center}
\vspace{-2pt}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.7：} 轨道坐标系参数定义\end{center}
\end{frame}
